Progressão geométrica: termo geral I - Aula 33

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Progressão aritmética e função afim - aula 32

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Probabilidade concicional I - aula 22

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Resolução de problemas - Aula 23 - Curvas de nível

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PA - Soma dos termos II - aula 31

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Probabilidade III - aula 21

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Questão do ITA sobre paralelepípedos.

(ITA-SP) As dimensões x, y e z de um paralelepípedo retângulo estão em progressão aritmética. Se a soma dessas medidas é igual a 33 cm e que a área total do paralelepípedo é 694 cm², então o volume desse paralelepípedo, em centímetros cúbicos, é igual a:
a) ( ) 834
b) (x) 1155
c) ( ) 936
d) ( ) 728
e) ( ) 1200

Resolução:

Primeiramente é necessário relembrar o que é uma progressão aritmética:

Uma progressão aritmética (P.A.)  é uma sequência em que cada termo é obtido através da soma do termo anterior (antecessor) com um número chamado razão.

Exemplo: (1, 3, 5, 7, 9, ...) Nesta sequência a razão é igual a 2, pois cada termo é obtido somando-se o seu antecessor com a constante 2.

Esse tipo de sequência tem algumas caracterísiticas interessantes:

- A média da soma do primeiro com o terceiro termo resulta no termo intermediário. Veja:

                                              (1 + 5) / 2 = 6/2 = 3

Podemos utilizar essa propriedade para ajudar a solucionar o nosso problema:

P. A. (x, y, z)

Então: 

O enunciado nos dá a informação de que a soma das medidas é igual a 33 cm.

Logo:   x + y + z = 33

Reescrevendo essa equação:       x + z + y = 33

Substituindo x + z  por 2y, teremos:

                                                                  2y + y = 33

                                                                        3y = 33

                                                                          y = 11 cm

O enunciado também informa que a área total é igual a 694 cm².

A área total de um paralelepípedo é obtida pela relação:

At = 2.(x.y + x.z + y.z)

Substituindo os dados conhecidos, teremos:

694 = 2.(x.11 + x.z + 11.z)

Podemos passar o 2 dividindo o 694:

694/2 = 11.x + 11.z + x.z

347 = 11.x + 11.z + x.z

Agora é possível colocar o 11 em evidência, multiplicando a soma de x com z:

347 = 11.(x + z) + x.z

Determinamos anteriormente que x + z = 2y. Então substituiremos (x + z) por 2y:

347 = 11.2.y + x.z

Mas sabemos que y = 11. Então substituiremos y por 11.

347 = 22.11 + x.z

347 = 242 + x.z

347 - 242 = x.z

x.z = 105

Nosso objetivo é determinar o valor do volume do paralelepípedo, portanto não precisamos saber os valores de x e z. Basta saber que seu produto (x.z) é igual a 105. 

O volume de um paralelepípedo é:

V = x.y.z

Reordenando as variáveis teremos:

V = x.z.y

Sabemos que x.z = 105 e que y = 11. Sustituindo esses valores, teremos:

V =105.11

V = 1155 cm³